5.2 递归算法:走楼梯会思考的题

今天来看一道有点意思的题目,有点意思的意思呢,不是说难,而是题目一想好像很难,但是如果找对了解决的思路,就能迎刃而解了。

问题是: >假如这里有 n 个台阶,你可以选择每次完成一个台阶 或者 两个台阶,试问走完这 n 个台阶有多少种走法呢?

举个例子,如果有 7 个台阶,你可以选择 2 - 2 - 2 - 1 走完,也可以选择 2 - 1 - 1 - 1 - 2 走完。

这道题在群里,有人面试的时候被提问过,而正巧的是我在极客时间的 《数据结构与算法之美》 这个课程里学习过。

在往下看答案之前,你可以尝试自己思考如果是你自己来完成这道题目,会有什么思路?

接下来,我就分享一下这个题目的解法。

你可能不会想到这个题目居然可以用递归来解决吧?真的是思路清晰,简单又粗暴。

首先,你跨出的每个第一步,都只有两种选择,要么跨出一个台阶,要么跨出两个台阶。而每个下一步又是一个全新的开始,又面临着两种选择。你看,有点递归的味道了吧?每个过程都是重复的过程。

写递归函数,有两个最重要的点:

  • 递推公式:f(n) = f(n-1) + f(n-2)

  • 终止条件:f(1) = 1,f(2) = 2

用 Python 写一下:

def calc_step_recursion(num):
    if num == 1:
        return 1
    if num == 2:
        return 2

    return calc_step_recursion(num - 1) + \
           calc_step_recursion(num - 2)

计算一下结果有多惊人

calc_step_recursion(10)
# 89

calc_step_recursion(20)
# 10946

如果今天只有这点内容那就太没有诚意了。

让我们尝试着对这个函数进行深度思考,就会发现这个函数会有一些问题。

首先,第一个问题是,这个递归写得虽然简洁,但是却有大量的重复计算。

比如,

f(5) = f(4) + f(3)
     = f(3) + f(2) + f(3)
     = f(2) + f(1) + f(2) + f(2) + f(1)

这里面,f(2) 就要运算 3 次,f(1) 要运算 2 次。

当我们的 n 为一个比较大的数时,这个运算过程会浪费很多的时间。

正好之前在看 《流畅的Python》 这本书的时候,学习到了一个非常好用的内置装饰器(lru_cache)。它可以将这些函数的运行结果保存下来(其实就是缓存),避免传入重复参数造成重复计算。

import functools

@functools.lru_cache()
def calc_step_recursion(num):
    if num == 1:
        return 1
    if num == 2:
        return 2

    return calc_step_recursion(num - 1) + \
           calc_step_recursion(num - 2)

来看看加上这个装饰器后,性能到底提升了多少,这里用时间来衡量。

# 不加
calc_step_recursion(40)
# time:25.780471086502075 秒

# 不加
calc_step_recursion(40)
# time:0.0001678466796875 秒

第二个问题呢,使用递归的时候,我们都知道递归会出现堆栈溢出的风险。

为了避免这个问题,通常我们会将这个递归实现转换成循环迭代。

def calc_step_loop(num):
    step1 = 1
    step2 = 2
    for step in range(2, num):
        total = step1 + step2
        step2, step1 = total, step2
    return total

使用迭代循环的方式,不仅不会有重复计算的问题,而且又避免出现堆栈溢出的风险。可谓是一举两得。

同样地,也来看一下,它的运行时长,比使用递归的方法可好多了。

calc_step_loop(40)
# time:0.0000348091125488 秒

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